Teoria Geometria analítica

Na geometria euclidiana temos a seguinte definição para circunferência:

“Conjunto dos pontos equidistantes em relação a um determinado ponto (centro)”

Mas o que significa isso para a geometria analítica? Existe uma fórmula para medir distância entre pontos:

$$d^2 = (x_b- x_a)^2 + (y_b- y_a)^2$$

A distância do centro até a circunferência é chamada de raio. Vamos fixar um raio $r$ e um centro $C = (x_c, y_c)$. Queremos encontrar todos os pontos $P = (x, y)$ que tem distância $r$ em relação ao centro $C$.

Imagem

Então trocando estes dados na fórmula da distância, obtemos a equação reduzida da circunferência:

$$\boxed{(x- x_c)^2 + (y- y_c)^2 = r^2}$$

As circunferências mais simples são aquelas centradas na origem $O = (0,0)$.

$$(x- x_c)^2 + (y- y_c)^2 = r^2 \\
(x- 0)^2 + (y- 0)^2 = r^2 \\
\boxed{x^2 + y^2 = r^2}$$

Exemplo:

Observe a circunferência abaixo:

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Como o centro dela é na origem, e o raio mede $1$, sua equação é:

$$x^2 + y^2 = 1^2 \\ x^2 + y^2 = 1 $$

Iremos determinar a equação da circunferência representada abaixo:

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Como o plano cartesiano está quadriculado, podemos afirmar que o centro está na posição $(-1, 4)$; além disso, podemos ver que o raio mede $3$ unidades (é só contar quantas unidades tem entre o centro e a circunferência).

Agora basta trocar estas informações na equação reduzida da circunferência:

$$(x- x_c)^2 + (y- y_c)^2 = r^2 \\
(x- (- 1))^2 + (y- 4)^2 = 3^2 \\
(x + 1)^2 + (y- 4)^2 = 9$$

Perceba que as coordenadas do centro acabam tendo seu sinal trocado.

Você pode estar se perguntando: “Não tem mais nada pra fazer nessa equação?”

A resposta curta é: não.

A resposta longa é: podemos desenvolver os produtos notáveis, mas aí a fórmula não fica mais na forma reduzida. Esse seria o começo para deixarmos a equação em sua forma geral, mas falaremos disso na próxima seção.

Iremos determinar a equação da circunferência que tem centro de coordenadas $(4,2)$ e é tangente ao eixo $x$

Se uma circunferência é tangente a uma reta, ela só possui um ponto em comum com esta reta. Assim, concluímos que o raio da circunferência tem que ser $2$, como mostra a imagem abaixo:

Imagem

Trocando as informações na equação reduzida, temos:

$$(x- x_c)^2 + (y- y_c)^2 = r^2 \\
(x- 4)^2 + (y- 2)^2 = 2^2 \\
(x- 4)^2 + (y- 2)^2 = 4$$

Agora vamos fazer o caminho inverso. Sabendo que alguma circunferência tem a equação:

$$(x + 2)^2 + (y- 8)^2 = 25$$

iremos determinar as coordenadas do centro e a medida de seu raio.

Para reaver as coordenadas do centro, basta trocar o sinal das constantes que estão com o $x$ e o $y$:

$$C = (-2, 8)$$

Na fórmula, o raio é elevado ao quadrado; então vamos tirar a raiz quadrada da constante que está à direita:

$$r = \sqrt{25} = 5$$